第 5 章 3 極座標でのハミルトニアン
水素原子の波動関数を求めるためのシュレーディンガー方程式は極座標で表示されるものが使われる。このとき，ハミルトニアンを極座標で表す必要がある。
\(\small\displaystyle{\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m_{\mathrm{e}}}\Biggl[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}\Biggr]-\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}}\)
これを直交座標のハミルトニアンから導くのを正攻法で解いて行くとラプラシアンの部分で大変な計算になるが，ベクトル解析を使うと，それほどの苦労なしに目的の式を導くことができる。その方法を説明する。講義テキスト「基礎物理化学第 3 版」の解答。