Heisenberg の発想
量子力学はどのように成立したか 2 — Planck と Bohr をつなぐもの で説明したように，Bohr の理論の弱点は，$n$ で特徴づけられる定常状態の電子の周期円運動の角周波数を $\omega\left(n\right)$，エネルギー準位を $E_n$ とした場合，関係式： \begin{align} E_{n}-E_{n-\alpha}\simeq\alpha\hbar\omega\left(n\right) \label{eq:Em-En_omega} \end{align} が $n\gg\alpha$ という条件でしか成立せず，小さな軌道（$n$ が小さい）においては，電子の周期円運動によって出される電磁波というもので軌道間の遷移によって出される電磁波を説明することができなかったことである．そのために同じ論文で Bohr が導入した振動数条件の式： \begin{align} E_{n}-E_{n-\alpha}=\hbar\omega_{n,n-\alpha} \label{eq:Bohr} \end{align} との整合性が示されなかった．
この問題を考えるにあたって Heisenberg の採った立場は，簡単に言えば，古典的描像に基づく式 \eqref{eq:Em-En_omega} にこだわることを止め，式 \eqref{eq:Bohr} に基づいて考える，ということであった．1925 年の最初の論文（注 1）の中で Heisenberg は “観測できない量 — 電子の位置とか周期とか — について観測しようという希望を捨てるのが賢明である．その代わりに，観測できる量のみについて古典力学と整合するような理論量子力学を確立するほうががより筋が通っている．” と書いている．前半は独自の革命的な考え方であるが，後半は師の Bohr の “対応原理” に基づく考え方が色濃く反映されている．Heisenberg はそのような “観測できる量” として，原子の中の電子の遷移によって出入りする電磁波の振動数（式 \eqref{eq:Bohr} に示される）と強度を挙げた．
まず従来どおり，古典的な取り扱いで周期運動を Fourier 級数で表すことを考えよう．$n$ で特徴づけられる周期的に変化する状態の基本角周波数を $\omega\left(n\right)$ として，周期的に変化する物理量 $a\left(n\right)$ は \begin{align} a\left(n\right)=\cdots+A_{-2}\left(n\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\omega\left(n\right)t}+A_{-1}\left(n\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\left(n\right)t}+A_{0}\nonumber\\ +A_{1}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\left(n\right)t}+A_{2}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\omega\left(n\right) t}+\cdots \label{eq:Fourier} \end{align} と表わされる．ただし，物理量は実数でないといけないので，$A_{\alpha}\left(n\right)$ と $A_{-\alpha}\left(n\right)$ は複素共役である． \begin{align} A_{-\alpha}\left(n\right)^{*}=A_{\alpha}\left(n\right) \label{eq:Condition to be a real number} \end{align} そうすると物理量 $a\left(n\right)$，$b\left(n\right)$ の積 $c\left(n\right)$ は \begin{align} c\left(n\right)=&\cdots+\left(\cdots+A_{-2}\left(n\right)B_{1}\left(n\right)+A_{-1}\left(n\right)B_{0}\left(n\right)+A_{0}\left(n\right)B_{-1}\left(n\right)+A_{1}\left(n\right)B_{-2}\left(n\right)+\cdots\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\left(n\right)t}\nonumber\\ &+\left(\cdots+A_{-1}\left(n\right)B_{1}\left(n\right)+A_{0}\left(n\right)B_{0}\left(n\right)+A_{1}\left(n\right)B_{-1}\left(n\right)+\cdots\right)\nonumber\\ &+\left(\cdots+A_{-1}\left(n\right)B_{2}\left(n\right)+A_{0}\left(n\right)B_{1}\left(n\right)+A_{1}\left(n\right)B_{0}\left(n\right)+A_{2}\left(n\right)B_{-1}\left(n\right)+\cdots\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\left(n\right) t} \end{align} となる．ここで Fourier 級数の係数に注目すると， \begin{align} &\qquad\qquad\vdots\nonumber\\ C_{-1}\left(n\right)&=\cdots+A_{-2}\left(n\right)B_{1}\left(n\right)+A_{-1}\left(n\right)B_{0}\left(n\right)+A_{0}\left(n\right)B_{-1}\left(n\right)+A_{1}\left(n\right)B_{-2}\left(n\right)+\cdots\\ C_{0}\left(n\right)&=\cdots+A_{-1}\left(n\right)B_{1}\left(n\right)+A_{0}\left(n\right)B_{0}\left(n\right)+A_{1}\left(n\right)B_{-1}\left(n\right)+\cdots\\ C_{1}\left(n\right)&=\cdots+A_{-1}\left(n\right)B_{2}\left(n\right)+A_{0}\left(n\right)B_{1}\left(n\right)+A_{1}\left(n\right)B_{0}\left(n\right)+A_{2}\left(n\right)B_{-1}\left(n\right)+\cdots\\ &\qquad\qquad\vdots\nonumber \end{align} すなわち， \begin{align} C_{\beta}\left(n\right)=\sum_{\alpha}A_{\alpha}\left(n\right)B_{\beta-\alpha}\left(n\right) \label{eq:Calculation rule 1} \end{align} が成り立っていることがわかる． 位相の部分を入れても \begin{align} C_{\beta}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta\omega\left(n\right) t}=\sum_{\alpha}A_{\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right) t}B_{\beta-\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\beta-\alpha\right)\omega\left(n\right) t} \label{eq:Calculation rule 2} \end{align} となる．
さて，Fourier 級数であると，基本角周波数 $\omega\left(n\right)$ の整数倍の振動しか存在しない．式 \eqref{eq:Em-En_omega} が成立するようなような $n\gg\alpha$ となる領域ではそれでよいが，そうでない領域では式 \eqref{eq:Fourier} をそのまま使うわけに行かない．ここで Heisenberg は，最初に述べた通り，角振動数は式 \eqref{eq:Bohr} のものが本質的なものであり，そこで示された $\omega_{n,n-\alpha}$ が古典的な $\alpha\omega\left(n\right)$ に対応する量子論的なものとし，Fourier 級数の代わりに $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\alpha}t}$ で展開すること，すなわち $\omega_{n,n-\alpha}$ の振動数を持つ様々な振動の集合で表すことを考えた（注 2）．この対比の妥当性の根拠として，Heisenberg は量子論的な振動数が満たす Lydberg–Ritz の結合規則： \begin{align} \omega_{n,n-\beta}=\omega_{n,n-\alpha}+\omega_{n-\alpha,n-\beta} \label{eq:Ritz} \end{align} に対応する古典的な振動数の式： \begin{align} \beta\omega\left(n\right)\simeq\alpha\omega\left(n\right)+\left(\beta-\alpha\right)\omega\left(n-\alpha\right) \end{align} が，$n\gg\alpha$ で $\omega\left(n-\alpha\right)\simeq\omega\left(n\right)$ と見なされる領域で成立すること，すなわち対応原理を満足することを挙げた．そうすると物理量 $a\left(n\right)$ は \begin{align} A_{n,n-\alpha}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\alpha}t} \label{eq:A} \end{align} といったように，さまざまな要素の集合として表されることになる．ここで $A_{n,n-\alpha}$ は $\omega_{n,n-\alpha}$ に対応する振幅であるが，古典論的な $A_{\alpha}\left(n\right)$ に対応する量子論的なものと位置づけられる．いま一度古典論と量子論の対応関係を整理すると，以下のようになる． \begin{align} \alpha\omega\left(n\right)\longleftrightarrow\omega_{n,n-\alpha} \label{eq:Correspondence 1}\\ A_{\alpha}\left(n\right)\longleftrightarrow A_{n,n-\alpha} \label{eq:Correspondence 2} \end{align} この時点で古典論からの大きな飛躍があり，ここで右側に量子論的な量として示されたものがどのような意味を持つのかということが当時の物理学者にとって大きな疑問であった．
しかし Heisenberg はそのようなことにこだわるのを捨て，このように表された物理量の演算の規則を探すことに取り組んだ．その結果，Lydberg–Ritz の結合規則（式 \eqref{eq:Ritz}）を満足するためには，物理量の積は \begin{align} C_{n,n-\beta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\beta}t}=\sum_{\alpha}A_{n,n-\alpha}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\alpha}t}B_{n-\alpha,n-\beta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n-\alpha,n-\beta}t} \label{eq:Calculation rule 3} \end{align} のようになることが，“ほぼ当然のこととして要求される” とした．確かに，添字がこのようになることは式 \eqref{eq:Ritz} から自明であるが，$\alpha$ についての総和を取っていることは自明ではない．ここで，$n\gg\alpha$ の領域において，上記の対応関係（式 \eqref{eq:Correspondence 1}，\eqref{eq:Correspondence 2}）を使って古典論的なものに変換してみると，式 \eqref{eq:Calculation rule 2} に一致し，対応原理を満たしていることがわかる．明らかに，Heisenberg は対応原理を道標に式 \eqref{eq:Calculation rule 3} を見出したのである．位相の部分が左辺と右辺で等しくなることはもはや明らかなので，それを省くと， \begin{align} C_{n,n-\beta}=\sum_{\alpha}A_{n,n-\alpha}B_{n-\alpha,n-\beta} \label{eq:Calculation rule 4} \end{align} となる．
Heisenberg はこの時点では気がついていなかったのであるが，師の Born がこれが行列の演算であることを見抜いた．式 \eqref{eq:Bohr} より $\omega_{n,n}=0\;\left(n=1,2,\cdots\right)$ であることに注意して一般に物理量 $a$ と関係づけられる行列 $\boldsymbol{A}$ を書き下すと次のようになる． \begin{align} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} A_{1,1} & A_{1,2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{1,2}t} & A_{1,3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{1,3}t} & \cdots\\ A_{2,1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{2,1}t} & A_{2,2} & A_{2,3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{2,3}t} & \cdots\\ A_{3,1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{3,1}t} & A_{3,2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{3,2}t} & A_{3,3} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right] \end{align} なお，要素 $A_{m,n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{m,n}t}$ と $A_{n,m}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,m}t}$ の関係は $m-n=j$ として式 \eqref{eq:Fourier} の項 $a_{j}\mathrm{e}^{\mathrm{i}j\omega\left(n\right)t}$ と $a_{-j}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}j\omega\left(n\right)t}$ の関係に対応するので，これらは複素共役であるとすると，対応原理を満たすことになる．すなわち， \begin{align} A_{n,m}^{*}&=A_{m,n} \label{eq:Amn}\\ \omega_{n,m}&=-\omega_{m,n} \label{eq:omega} \end{align} ただし，式 \eqref{eq:omega} は対応原理ではなく式 \eqref{eq:Bohr} より導かれるものである．式 \eqref{eq:Amn}，\eqref{eq:omega} より，物理量 $a$ と関係づけられる行列 $\boldsymbol{A}$ は Hermite 行列であることになる．こうして行列表現が誕生したのであるが，それは Born と Jordan の論文（注 3）において初めて示されたものである．
Fourier 級数表現のときには周期的に変化する物理量の周期成分という明確な物理的描像があったのであるが，Heisenberg の表現（式 \eqref{eq:A}）や Born–Jordan の行列表現になるとそのような描像で捉えることは困難になってしまった．Heisenberg はこれについては “何らかのもの” としか表現しなかった．行列 $\boldsymbol{A}$ の意味については，物理量そのものではなく演算子であることが Schrödinger の波動力学によってようやく明らかになるのであるが，それは翌 1926 年以降のことである．
Heisenberg の量子条件
Heisenberg は引き続き，Sommerfeld によって定式化された “量子条件” に対応するものを見出すことに努めた．これは後に述べる一次元調和振動子の例でわかるように，物理量を決めるために必要な関係式である．Heisenberg によって示された導出過程を見てみよう．
Sommerfeld の量子条件 \begin{align} \oint pdq=nh \end{align} を一次元で考えると， \begin{align} \oint m_{\mathrm{e}}\dot{x}^{2}\mathrm{d}t=nh \label{eq:Quantum condition 2} \end{align} となる．ここで $m_{\mathrm{e}}$ は電子の質量であるが，他の粒子でも構わない．古典的に考えると，状態 $n$ における電子の位置 $x$ を Fourier 級数で表すと， \begin{align} x=\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}X_{\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)t} \label{eq:xFourier} \end{align} である．これを $t$ で微分した \begin{align} \dot{x}=\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)X_{\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)t} \label{eq:dx/dt} \end{align} を式 \eqref{eq:Quantum condition 2} に代入すると，$\alpha$ について絶対値が同じで符号の異なる項の組合せのみが周回積分（$0\leq t\leq2\pi/\omega\left(n\right)$）を通じて残り，また $X_{-\alpha}\left(n\right)=X_{\alpha}\left(n\right)^{*}$ であるため， \begin{align} m_{\mathrm{e}}\int_{0}^{2\pi/\omega\left(n\right)}\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}\alpha^{2}\omega\left(n\right)^{2}\left|X_{\alpha}\left(n\right)\right|^{2}\mathrm{d}t=nh \label{eq:nh 1} \end{align} 被積分関数は $t$ に依存しないため， \begin{align} 2\pi m_{\mathrm{e}}\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}\alpha^{2}\omega\left(n\right)\left|X_{\alpha}\left(n\right)\right|^{2}=nh \end{align} $\alpha$ が $0$ 以上を取って， \begin{align} 4\pi m_{\mathrm{e}}\sum_{\alpha=0}^{\infty}\alpha^{2}\omega\left(n\right)\left|X_{\alpha}\left(n\right)\right|^{2}=nh \label{eq:nh 3} \end{align} ここまでが古典論と Sommerfeld の量子条件による記述である．
古典論から量子論に移行するために，Heisenberg は前節で述べた式 \eqref{eq:Correspondence 1}，\eqref{eq:Correspondence 2} を式 \eqref{eq:nh 3} に適用して， \begin{align} 4\pi m_{\mathrm{e}}\sum_{\alpha=0}^{\infty}\alpha\omega_{n,n-\alpha}\left|X_{n,n-\alpha}\right|^{2}=nh \label{eq:nh 4} \end{align} を得た．ところで，Planck の理論のところでも触れたように，$nh$ には何らかの定数が加わっても理論は成立する．すなわち，$h$ という間隔が本質的なのであって，$nh$ そのものが重要なのではない．そこで，形式的に $n$ で微分すると， \begin{align} 4\pi m_{\mathrm{e}}\sum_{\alpha=0}^{\infty}\alpha\frac{\partial}{\partial n}\left(\omega_{n,n-\alpha}\left|X_{n,n-\alpha}\right|^{2}\right)=h \label{eq:h} \end{align} となるが，当然ながら $n$ は整数なので，微分ではなく差分を用いるのが適当であり，Heisenberg はそれを \begin{align} 4\pi m_{\mathrm{e}}\sum_{\alpha=0}^{\infty}\left[\omega_{n+\alpha,n}\left|X_{n+\alpha,n}\right|^{2}-\omega_{n,n-\alpha}\left|X_{n,n-\alpha}\right|^{2}\right]=h \label{eq:Quantum condition of Heisenberg} \end{align} という式で表した．これは行列力学の確立に向けて重要となる式の一つであるが，かなり強引な導出のしかたであることが見て取れる．まず，最初から式 \eqref{eq:Quantum condition 2} に量子論的な振動の集合の式 \begin{equation} x=\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}X_{n,n-\alpha}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\alpha}t} \label{eq:xQuantum} \end{equation} を代入しても良さそうであるが，そうしなかったのは，掛け合わせにおいて，Fourier 級数表現のとき（式 \eqref{eq:nh 1}）のようにうまく項が消えてくれないためと思われる．また，差分にしても，$\alpha$ を差分間隔に用いるのが適当なのかどうか，単に式 \eqref{eq:nh 4} や式 \eqref{eq:h} の中の厄介な $\alpha$ を消すための方便と見られなくもない．さらに，この差分自体がどのように導かれたのかが明らかでない．$\omega_{n,n}\left|X_{n,n}\right|^{2}$ の 2 つの添字のそれぞれについて前進差分，後退差分を取ったとすると， \begin{align} 4\pi m_{\mathrm{e}}\sum_{\alpha=0}^{\infty}\alpha\left[\frac{\omega_{n+\alpha,n}\left|X_{n+\alpha,n}\right|^{2}-\omega_{n,n}\left|X_{n,n}\right|^{2}}{\alpha}+\frac{\omega_{n,n}\left|X_{n,n}\right|^{2}-\omega_{n,n-\alpha}\left|X_{n,n-\alpha}\right|^{2}}{\alpha}\right]=h \end{align} となって，確かに \eqref{eq:Quantum condition of Heisenberg} の式が得られるが，前進差分と後退差分を組み合わせるのは $\alpha$ が大きくなったときの誤差を抑えるという意味であろうが，それにしても恣意的な印象がぬぐえない．
Heisenberg の “ブレークスルー”
Heisenberg は 1925 年の最初の論文でいくつかの大きなブレークスルーを行ったと言われている．それは
(1) 物理量を Fourier 級数の代わりに $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\alpha}t}$ で展開する表現を取ったこと（式 \eqref{eq:Correspondence 1}，\eqref{eq:Correspondence 2}）．
(2) そのような表現での積の法則（式 \eqref{eq:Calculation rule 3}，\eqref{eq:Calculation rule 4}）を見出したこと．
(3) この新しい表現における量子条件（式 \eqref{eq:Quantum condition of Heisenberg}）を見出したこと．
である．上で見たように，Heisenberg は大胆な発想により，しかも対応原理に基づいて古典論との整合性を保つことにより，これらを見出したのであるが，いずれも論理に飛躍があり証明が困難である．したがって，これらは “こう考えればうまく行く” という，Heisenberg の理論の中における “原理” と見なすのが適当であると思われる．
そのこと自体は問題ではない．どのような理論体系もその体系内では証明不可能な原理の上に築かれる．熱力学のように，限られた原理から全く論理に飛躍のない完璧な理論体系が作り上げられたという，科学的思考が生み出した大きな成果の好例を我々は知っている．では，Heisenberg の新しい力学はそのような完璧なものであったのだろうか．
結局は対応原理が必要であった Heisenberg の理論
Heisenberg は一次元振動子について彼の新しい力学を適用し，離散的なエネルギー準位を説明した．その過程を見ていこう．
まず，非調和振動の式 \begin{align} \ddot{x}+\omega_{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0 \label{eq:Anharmonic} \end{align} を考える．当然ながら $\lambda=0$ であれば，調和振動の式となる．
Heisenberg は古典的な場合の $x$ として，次の式を考えた． \begin{align} x\left(n,t\right)=\lambda a_{0}\left(n\right)+a_{1}\left(n\right)\cos\omega t+\lambda a_{2}\left(n\right)\cos2\omega t+\lambda^{2}a_{3}\left(n\right)\cos3\omega t+\cdots \label{eq:Anharmonic_xFourier} \end{align} なぜこの式を考えたかということは説明されていない．そこで Heisenberg の着想について想像してみよう．式 \eqref{eq:xFourier} を $x$ が実数であるための条件 $X_{-\alpha}\left(n\right)^{*}=X_{\alpha}\left(n\right)$（式 \eqref{eq:Condition to be a real number} 参照）を用いて変形すると， \begin{align} x\left(n,t\right) & =\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}X_{\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)t}\nonumber \\ & =X_{0}\left(n\right)+\sum_{\alpha=1}^{\infty}\left(X_{\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)t}+X_{-\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)t}\right)\nonumber \\ & =X_{0}\left(n\right)+\sum_{\alpha=1}^{\infty}\left(X_{\alpha}\left(n\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)t}+X_{\alpha}\left(n\right)^{\ast}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha\omega\left(n\right)t}\right)\nonumber \\ & =X_{0}\left(n\right)+\sum_{\alpha=1}^{\infty}\left(\operatorname{Re}(X_{\alpha}\left(n\right))\cos\alpha\omega\left(n\right)t-\operatorname{Im}(X_{\alpha}\left(n\right))\sin\alpha\omega\left(n\right)t\right)\nonumber\\ & =X_{0}\left(n\right)+\sum_{\alpha=1}^{\infty}Y_{\alpha}\left(n\right)\cos\left(\alpha\omega\left(n\right)t+\phi\right) \label{eq:xFourier alpha>0} \end{align} となる．最後に出現した位相 $\phi$ は重要でないので無視して構わない．
さて，式 \eqref{eq:Anharmonic} に摂動項として $\lambda x^2$ が入ってきているので，摂動のないときには調和振動となって $x=a\cos\omega_{0} t$ となる．これは式 \eqref{eq:xFourier alpha>0} の $\alpha=1$ の項に相当する．そこで式 \eqref{eq:xFourier alpha>0} の $\alpha=1$ の項だけは $\lambda$ に無関係であり，$\alpha\neq1$ の項が $\lambda$ に依存し，$\alpha$ が $1$ から離れるにしたがって高次の $\lambda$ の項になると考えた．そこで， \begin{align} X_{0}\left(n\right) & =\lambda a_{0}\left(n\right)\label{eq:lambdaa0}\\ Y_{\alpha}\left(n\right) & =\lambda^{\alpha-1}a_{\alpha}\left(n\right)\label{eq:lambdaaalpha} \end{align} と書き換えると，式 \eqref{eq:Anharmonic_xFourier} になる．摂動論的には式 \eqref{eq:Anharmonic_xFourier} の $\omega$ は $\omega_{0}$ でも良かったはずであるが，そうしなくてもいずれ後ほど $\omega=\omega_{0}$ が示されることになる．$a_{0}\left(n\right)$ は $a_{0}\left(n\right)\cos0\omega t$ と読めるので，$a_{2}\left(n\right)\cos2\omega t$ と同じだけ $a_{1}n\cos\omega t$ から離れていると見なして $\lambda$ の一次の項としたと考えられる．
式 \eqref{eq:Anharmonic_xFourier} を式 \eqref{eq:Anharmonic} に代入すると，複雑な式になる．しかし，よく知られた三角関数の公式： \begin{align} \displaystyle \cos k\omega t\cos l\omega t=\frac{1}{2}\cos\left(k+l\right)\omega t+\frac{1}{2}\cos\left(k-l\right)\omega t\qquad\left(k,\;l=1,\;2\;3\;\cdots\right) \end{align} を使って整理して行くと， \begin{gather} \left[\lambda\left(\omega_{0}^{2}a_{0}\left(n\right)+\frac{a_{1}\left(n\right)^{2}}{2}\right)+\lambda^{3}\left(a_{0}\left(n\right)^{2}+\frac{a_{2}\left(n\right)^{2}}{2}\right)+\;\cdots\right]+\nonumber \\ \left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)a_{1}\left(n\right)+\lambda^{2}\left(2a_{0}\left(n\right)a_{1}\left(n\right)+a_{1}\left(n\right)a_{2}\left(n\right)\right)+\;\cdots\right]\cos\omega t+\nonumber \\ \left\{ \left[\frac{a_{1}\left(n\right)^{2}}{2}+\left(\omega_{0}^{2}-4\omega^{2}\right)a_{2}\left(n\right)^{2}\right]\lambda+\left(2a_{0}\left(n\right)a_{2}\left(n\right)+a_{1}\left(n\right)a_{3}\left(n\right)\right)\lambda^{3}+\;\cdots\right\} \cos2\omega t+\nonumber\;\cdots\\ =0 \end{gather} となる．これより，それぞれの項の係数および定数項が零となり，また $\lambda$ の一次の項までを残すと， \begin{alignat}{1} \lambda\left(\omega_{0}^{2}a_{0}\left(n\right)+\frac{a_{1}\left(n\right)^{2}}{2}\right) & =0\\ \left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)a_{1}\left(n\right) & =0\label{eq:harmonic}\\ \lambda\left(\frac{a_{1}\left(n\right)^{2}}{2}+\left(\omega_{0}^{2}-4\omega^{2}\right)a_{2}\left(n\right)^{2}\right) & =0 \end{alignat} が得られる．この中で $\lambda\rightarrow0$ としたときに残るのは式 \eqref{eq:harmonic} のみであり，明らかに式 \eqref{eq:Anharmonic_xFourier} は振動数 $\omega=\omega_0$ の調和振動の式になる．
次に，量子論的な取り扱いでは，式 \eqref{eq:xQuantum} を式 \eqref{eq:Anharmonic} に代入し，式 \eqref{eq:Calculation rule 4} の積の法則を使うと \begin{equation} \left(\omega_{0}^{2}-\omega_{n,n-\alpha}^{2}\right)X_{n,n-\alpha}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\alpha}t}+\lambda\sum_{\beta=-\infty}^{\infty}X_{n,n-\beta}X_{n-\beta,n-\alpha}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n,n-\alpha}t}=0 \end{equation} となる．これは簡単に \begin{equation} \left(\omega_{0}^{2}-\omega_{n,n-\alpha}^{2}\right)X_{n,n-\alpha}+\lambda\sum_{\beta=-\infty}^{\infty}X_{n,n-\beta}X_{n-\beta,n-\alpha}=0 \label{eq:Anharmonic quantum w/o lambda} \end{equation} となる．
ここで，式 \eqref{eq:lambdaa0}，式 \eqref{eq:lambdaaalpha} に相当する置き換えを行う．
\begin{alignat}{1}
X_{n,n} & =\lambda a_{n,n}\\
X_{n,n-\alpha} & =\frac{\lambda^{\alpha-1}}{2}a_{n,n-\alpha}\label{eq:Substitution}
\end{alignat}
なお，式 \eqref{eq:Substitution} で $2$ で割られている理由は不明である．古典論の場合と同様に $\lambda$ の一次の項までを残すことにしよう．式 \eqref{eq:Anharmonic quantum w/o lambda} の総和の中の複雑な掛け算は，$X$ の 2 つの添字が $1$ だけ異なるときのみ，式 \eqref{eq:Substitution} の置き換えによっても $\lambda$ に無関係であり，（$\sum$ の前の $\lambda$ が掛けられて）$\lambda$ の一次の項となるので，
$\alpha=0$ に対して
\begin{equation}
\lambda\left[\omega_{0}^{2}a_{n,n}+\frac{1}{4}\left(a_{n,n+1}a_{n+1,n}+a_{n,n-1}a_{n-1,n}\right)\right]=0
\end{equation}
$\alpha=1$ に対して
\begin{equation}
\omega_{0}^{2}-\omega_{n,n-1}^{2}=0
\label{eq:harmonic_quantum}
\end{equation}
$\alpha=2$ に対して
\begin{equation}
\lambda\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{n,n-2}^{2}\right)a_{n,n-2}+\frac{a_{n,n-1}a_{n-1,n-2}}{2}\right]=0
\end{equation}
この場合も，$\lambda\rightarrow0$ としたときに残るのは式 \eqref{eq:harmonic_quantum} のみであり，振動数 $\omega_{n,n-1}=\omega_0$ の調和振動の式となる．
奇妙なことに，Heisenberg はまず非調和振動のモデルから出発し，摂動論で二次以上を切り捨てることによって調和振動を導いた．これについては，いきなり調和振動のモデルで差分方程式を立てると，その差分方程式を解くことができない，ということが理由として挙げられている．確かに，一次元調和振動に対して差分方程式を立てると， \begin{align} \left(\omega_{0}^{2}-\omega_{n,n-\alpha}^{2}\right)X_{n,n-\alpha}=0 \end{align} であり（注 4），古典論的に分かっている “$\cos\omega_{0}t$ の振動のみが存在する，すなわち $Y_{1}\left(n\right)$ のみが零でない” ということを使えば，つまり対応原理を使えば，量子論で $Y_{1}\left(n\right)$ に対応す$X_{n,n-1}$ だけが零でないことになり， \begin{align} \left(\omega_{0}^{2}-\omega_{n,n-1}^{2}\right)X_{n,n-1}=0 \end{align} となって簡単に解けるのであるが，そのようなことを使わなければ解くことは非常に困難である（おそらく何らかの仮定を設けなければ解けないであろう）．Heisenberg は摂動論で一次までを取ることによって， \begin{align} \left(\omega_{0}^{2}-\omega_{n,n-1}^{2}\right)a_{n,n-1}=0 \end{align} を導き，調和振動子では隣接したエネルギー準位のみの遷移が起こり，いずれも同じ振動数の電磁波を放出・吸収するとしたのである．
それではどこから $X_{n,n-1}\neq0$ および $X_{n,n-\alpha}=0\;\left(\alpha\geq2\right)$ が出てきたのかと言うと，それは式 \eqref{eq:Substitution} に他ならない．しかも式 \eqref{eq:Substitution} は仮定である．$X_{n,n-1}$ 以外のものはすべて摂動の微小係数 $\lambda$ の羃に係数を掛けたものになるから，$\lambda\rightarrow 0$ で零になるのは当たり前である．このように古典論の結論との整合性が取れるように“仕組んでいる”と言うと言いすぎだろうか．結局は対応原理に依存した理論の展開となっているのである．
その後，Born と Jordan によって行列表現が導入され，Heisenberg との三者によって行列力学が形成されて行く．Born と Jordan は上記の Heisenberg の理論の欠点を補って，対応原理抜きの理論の形成に努めた．しかし，それでもかなりの数の仮定を盛り込むことが必要であった．
そのような中で，Schrödinger によって生み出された波動力学は，限られた，おそらく一つの原理から演繹的に現代の量子力学の体系を生み出した．Heisenberg–Born–Jordan の行列力学は波動力学による再解釈でその正しい意義付けがなされたと考えられる．
注
- Heisenberg, W. (1925) Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. Z. Phys. 33, 879—893.
- Fourier 級数ではないが，Fourier 級数の考え方に基づく発想であることは指摘される．
- Born, M., Jordan, P. (1925) Zur Quantenmechanik. Z. Phys. 34, 858—888.
- $\omega_0$ は後で固有角振動数と分かるものであるが，この方程式自体は単一の振動を仮定して立てたものではない．$\omega_0^2$ の代わりに $k/m$ と書いたほうが誤解がないかもしれない．