Hamilton の変分原理と Fermat の原理
Hamolton の力学が，光は光学的距離を最小にする経路を進むという Fermat の原理によって着想を与えられたものであることはよく知られている．物質波の発見以降，この幾何光学と古典力学の対応は，波動という観点から捉えなおされることになった．
一般的な波動について，ある場所 $q$ で時刻 $t$ における波の位相を $\phi$ とすると，これらの間には \begin{align} \mathrm{d}\phi=k\mathrm{d}q-\omega\mathrm{d}t \label{eq:dphi} \end{align} の関係が成り立っている．ただしここで $k$ は波数，$\omega$ は角振動数である．
一方，一つの粒子について，作用 $S$ の全微分は \begin{align} \mathrm{d}S=p\mathrm{d}q-H\mathrm{d}t \label{eq:dS} \end{align} で表される．このままでは式 \eqref{eq:dphi}，\eqref{eq:dS} の間の関係ははっきりしないが，式 \eqref{eq:dphi}に，Einstein–de Broglie の式： \begin{align} E &=\hbar\omega\\ p &=\hbar k \end{align} を代入すると， \begin{align} \mathrm{d}\phi=\frac{p}{\hbar}\mathrm{d}q-\frac{E}{\hbar}\mathrm{d}t \end{align} となり，式 \eqref{eq:dS} との対応が明確になる．すなわち， \begin{align} \mathrm{d}\phi=\frac{\mathrm{d}S}{\hbar} \end{align} という関連付けができる．$\phi=0$ において $S=0$ とすれば， \begin{align} \phi=\frac{S}{\hbar} \end{align} である．したがって，物質波を表す関数として， \begin{align} \psi=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}{S}/{\hbar}} \label{eq:psi} \end{align} を考えることができる．これを変形すると， \begin{align} S=\frac{\hbar}{\mathrm{i}}\ln{\frac{\psi}{A}} \label{eq:S=hlnpsi} \end{align} となる．
1926 年当時であれば，ここまでの議論が可能であったはずである．しかし，Schrödinger は 1926 年の第一論文（注 1）においては “$S$ を新しい未知の $\psi$-関数で置き換える” という記載のみにとどめ，またその置換を表す式として \begin{align} S=K\ln\psi \label{eq:S=Klnpsi} \end{align} という式を提示した．さらに第二論文（注 2）においては Hamilton 力学と Fermat の原理の関係について書いているが，やはり上述の議論はない．欄外において，「この論文ではもうこれ以上たどらない．これは単に，波動方程式と Hamilton の偏微分方程式の間の外的な関係について，暫定的かつ性急に方向づけを与えんがためである．」（注 3）とだけ記されている．ただ，そのすぐ後で，$\phi$ と $S$ がいずれも停留値を取るということで関係づけられることに言及しているので，上記のことは頭にあったのであろう．
Schrödinger がなぜこの議論を行わなかったかは後で考察するが，Hamilton–Jacobi 方程式から Schrödinger 方程式を導出しようと思うと，上記の議論を避け，式 \eqref{eq:S=Klnpsi} の形を取らざるを得なかったようである．
Schrödinger による Schrödinger 方程式の導出
エネルギーが保存される系での Hamilton–Jacobi 方程式は \begin{align} H\left(q,\frac{\partial{S}}{\partial{q}}\right)=E \label{eq:HJ} \end{align} である．式 \eqref{eq:S=Klnpsi} より， \begin{align} p=\frac{K}{\psi}\frac{\partial\psi}{\partial q} \end{align} を使うと，式 \eqref{eq:HJ} は以下のように変形される（注 4）． \begin{align} \frac{1}{2m}\frac{K^2}{\psi^{2}}\left[\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial z}\right)^{2}\right]+V\left(x,y,z\right)=E \label{eq:Original wave function} \end{align} 整理すると， \begin{align} \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial z}\right)^{2}+\frac{2m}{K^2}\left(V-E\right)\psi^{2}=0 \label{eq:First wave equation} \end{align} となるが，これは非線形であるので，何とか線形にしたい．
Schrödinger はここで変分法を用いることを思いついた．汎関数 \begin{align} J=\int\left[\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial z}\right)^{2}+\frac{2m}{K^2}\left(V-E\right)\psi^{2}\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \end{align} は $\psi$ が式 \eqref{eq:First wave equation} の解であるときに停留値を取る． \begin{align} \delta J=0 \label{eq:Condition} \end{align} $\delta J$ は以下のように変形される． \begin{align} \delta J& =\delta\iiint\left[\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\psi}{\partial z}\right)^{2}+\frac{2m}{K^2}\left(V-E\right)\psi^{2}\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =2\iiint\left[\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\delta\psi}{\partial x}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial\delta\psi}{\partial y}+\frac{\partial\psi}{\partial z}\frac{\partial\delta\psi}{\partial z}+\frac{2m}{K^2}\left(V-E\right)\psi\delta\psi\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \end{align} 被積分関数の最初の三項について部分積分を施して， \begin{align} \frac{\delta J}{2}=\iint\left[\frac{\partial\psi}{\partial x}\delta\psi\right]_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\iint\left[\frac{\partial\psi}{\partial y}\delta\psi\right]_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\mathrm{d}z+\iint\left[\frac{\partial\psi}{\partial z}\delta\psi\right]_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\nonumber\\-\iiint\delta\psi\left[\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}+\frac{2m}{K^2}\left(E-V\right)\psi\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \label{eq:deltaJ} \end{align} ここで Schrödinger は式 \eqref{eq:deltaJ} の最初の三項がゼロであるという条件をつけた．これは自明ではないが，粒子が無限に広がるものでない限り，すなわち $\psi$ が無限遠でゼロに近づくようなものであれば，$\delta\psi$ もまた無限遠でゼロに近づくであろう．これについては，後で水素原子の電子の波動関数 $\psi$ を求めた際に確かに無限遠で $\psi$ がゼロに収束し，この条件が満たされている．そうすると，任意の $\delta\psi$ について \eqref{eq:Condition} が成り立つためには， \begin{align} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}+\frac{2m}{K^2}\left(E-V\right)\psi=0 \label{eq:Wave equation 1} \end{align} でなければならないことになる．こうして線形の微分方程式として波動方程式が得られたのである．
この後で Schrödinger は水素原子の電子について式 \eqref{eq:Wave equation 1} を解くことで電子の波動関数とエネルギー準位が求められることを示した．そしてその結果が Bohr の結果と一致するためには，$K$ を \begin{align} K={\hbar} \label{eq:K=hbar} \end{align} とすればよいことがわかった（注 5）．これによって式 \eqref{eq:Wave equation 1} を書き換えると， \begin{align} \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)+V\right]\psi=E\psi \label{eq:Wave equation 2} \end{align} となって，今日のSchrödinger 方程式の形になる．
Schrödinger 方程式の別の導出方法
Schrödinger 方程式は水素原子の電子構造の解明で成功を収め，その正当性が認められた．しかし，Schrödinger はこの式の導出を性急に行ったため，数学的には問題はないように見えるものの，前提となる式 \eqref{eq:S=Klnpsi} についての考察が不十分であったことは否めない．
式 \eqref{eq:K=hbar} のように決まったのであれば，式 \eqref{eq:S=Klnpsi} は \begin{align} S=\hbar\ln\psi \end{align} となり，波動関数は \begin{align} \psi=\mathrm{e}^{S/{\hbar}} \label{eq:psi=eS/hbar} \end{align} となって，“波動” ではなくなってしまう．
さらに具合が悪いことに，この式 \eqref{eq:psi=eS/hbar} は式 \eqref{eq:Wave equation 1} を導く前提となったはずであるのに式 \eqref{eq:Wave equation 1} を満たさない（注 6）．このことは式 \eqref{eq:psi=eS/hbar} が式 \eqref{eq:deltaJ} の最初の三項がゼロであるという条件を満たさないと考えざるを得ないことを意味する．そうすると，式 \eqref{eq:S=Klnpsi} を仮定する限り，Schrödinger の採った変分法は適切な誘導方法ではなかったことになる．
今一度式 \eqref{eq:S=Klnpsi} に戻って考えてみよう．この式より， \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial x}=\frac{p_{x}}{K}\psi \end{align} さらに， \begin{align} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=\frac{p_{x}^{2}}{K^{2}}\psi \end{align} が得られる．これらより明らかに， \begin{align} \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^{2}=\psi\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} \end{align} となる．$y$，$z$ についても同様なので，式 \eqref{eq:Original wave function} は \begin{align} \frac{1}{2m}\frac{K^{2}}{\psi}\left(\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}\right)+V=E \end{align} となり，変形して， \begin{align} \frac{K^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}\right)+V\psi=E\psi \end{align} 式 \eqref{eq:Wave equation 1} と比べると，二階編微分の係数の符号が逆になっていることに気が付く．これを用いて水素原子の電子のエネルギー準位を求め，Bohr の結果と合わせると， \begin{align} K=\frac{\hbar}{\mathrm{i}} \label{eq:K=hbar/i} \end{align} となることで今日の Schrödinger 方程式が得られ，また波動関数が \begin{align} \psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}S/{\hbar}} \label{eq:psi2} \end{align} となって，確かに “波動” になってくれる．
ただしこの場合は，式 \eqref{eq:psi2} をよく見るとわかるように，$S$ の値にかかわらず絶対値の自乗が一定であり，無限遠でもゼロにならない．このことは水素原子の電子の波動関数が式 \eqref{eq:psi2} で表現できないことを示している．Schrödinger はこのことから，より素直と思われるこの導出方法を採用しなかったものと思われる．
さて，そうなると，式 \eqref{eq:psi=eS/hbar} も式 \eqref{eq:psi2} も波動関数と作用 $S$ の関係を示すものとして適当でないことになる．確かに最初に議論したように式 \eqref{eq:psi} の方がより適切な波動関数であろう．この式で $A$ が定数ではなく座標の関数であるならば，波動でありかつ無限遠でゼロになるようにすることができる．ならば，式 \eqref{eq:psi} を用いて Hamilton–Jacobi 方程式から何とか Schrödinger 方程式を導けないだろうか，ということになるのだが，残念ながらそれは不可能なようである．その理由は，後で議論するように Schrödinger 方程式から古典力学への極限移行によって Hamilton–Jacobi 方程式が導かれるのであるが，その逆の過程をたどることができないからである．
この Schrödinger 方程式と Hamilton–Jacobi 方程式の関係について考える前に，式 \eqref{eq:psi} の由来について確認しておくことにしよう．
Eikonal 近似
Fermat の原理は幾何光学において成立するものである．この小論の冒頭の議論とは独立に，波動光学から幾何光学への移行がどのようになされるたかを見てみよう．
誘電率 $\epsilon$ が場所によって変化し，透磁率 $\mu_0$ が変化しない場合，Maxwell の方程式より， \begin{align} \nabla\left(\frac{\left(\nabla\epsilon\right)\cdot\boldsymbol{E}}{\epsilon}\right)+\nabla^{2}\boldsymbol{E}-\epsilon\mu_{0}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}=0 \label{eq:Maxwell-E} \end{align} が導かれる．誘電率の空間変化が電場の空間変化よりも十分に小さいほど電磁波の振動数が高い場合，式 \eqref{eq:Maxwell-E} の第二項は第一項よりも十分大きくなる．そうすると式 \eqref{eq:Maxwell-E} が成立するためには第三項が第二項と同じくらいの大きさになることになるため，式 \eqref{eq:Maxwell-E} の第一項を無視することができる．したがって， \begin{align} \nabla^{2}\boldsymbol{E}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}=0 \end{align} ただし，$c$ はその場所における光速度である（真空中の光速は $c_0$ とする）．この式になると $\boldsymbol{E}$ の三つの成分について独立となるので，$\boldsymbol{E}$ をスカラー量 $u$ で置き換え，三つの成分それぞれについて成り立つ計三つの方程式を一つの式で代表することができる． \begin{align} \nabla^{2}u-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=0 \end{align} ここに \begin{align} u=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \label{eq:u} \end{align} を代入し，整理すると，実数項および虚数項がゼロとなることから，二つの方程式： \begin{align} \nabla^{2}A-A\left(\nabla\phi\right)^{2}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}A-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}A}{\partial t^{2}}&=0 \label{eq:real}\\ 2\nabla\phi\cdot\nabla A+A\nabla^{2}\phi+\frac{2\omega}{c^{2}}\frac{\partial A}{\partial t}&=0 \label{eq:imaginary} \end{align} が得られる．
$A$ が空間的にも時間的にも電界の変化に比べて十分ゆっくりと変化するのであれば，すなわち， \begin{align} \frac{\nabla^{2}A}{A}&\ll\left(\nabla\phi\right)^{2} \label{eq:nabla2A/A}\\ \frac{1}{A}\frac{\partial^{2}A}{\partial t^{2}}&\ll\omega^{2} \label{eq:dA/dt} \end{align} であれば， 式 \eqref{eq:real} は第二項と第三項のみが残り， \begin{align} \left(\nabla\phi\right)^{2}-\frac{\omega^{2}}{c^{2}}=0 \label{eq:eikonal1} \end{align} となる．これが eikonal 方程式である．この解を式 \eqref{eq:imaginary} に代入すると，$A$ の空間・時間依存性が求められる．
Eikonal 方程式（式 \eqref{eq:eikonal1}）を書き換えると， \begin{align} \left|\nabla\phi\right|^{2}=n^{2}k_{0}^{2} \label{eq:eikonal2} \end{align} ここで $n$ は屈折率，$k_0$ は真空中での波数である．この方程式は $\phi$ の “等高線” に垂直な方向の $\phi$ の傾きが $nk_0$ に等しいことを示している（注 7）．したがって，eikonal に垂直な方向に $nk_0$ を積分して行けば光の軌跡（幅があってもよいので，軌跡というより流れと表現したほうがよいかもしれない）とその上の各点での位相が得られることになる．この軌跡は eikonal 間を垂線で結ぶものであり，光学的距離として最小になる（Fermat の原理）．eikonal 方程式が成り立つ条件下でこのように近似的に光の軌跡と位相を求める方法を eikonal 近似という．
以上のように誘電率の空間変化が電場の空間変化よりも十分に小さいこと，及び式 \eqref{eq:nabla2A/A}，\eqref{eq:dA/dt} が成立する条件下で，電場を表す式 \eqref{eq:u} を Maxwell 方程式に代入することによって eikonal 方程式が導かれた．このことは，式 \eqref{eq:u} は幾何光学の成立する条件下で近似的に Maxwell 方程式の解であることを意味している．通常は式 \eqref{eq:u} は Maxwell 方程式の厳密解ではない（注 8）．
このことが量子力学と古典力学の関係に敷衍できるものとすると，式 \eqref{eq:psi} は古典力学の成立する条件下での Schrödinger 方程式の近似であり，通常は Schrödinger 方程式の厳密解ではないことになる．以上のことを踏まえて，Schrödinger 方程式と Hamilton–Jacobi 方程式の関係について考えてみよう．
Schrödinger 方程式と Hamilton–Jacobi 方程式の関係
時代が後になるが，1952 年に Bohm は Schrödinger 方程式から Hamilton–Jacobi 方程式が導かれることを示した（注 9）．
式 \eqref{eq:psi} より次の二つの式が得られる． \begin{align} \nabla\psi&=\left(\nabla A+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}A\nabla S\right)\exp\left(\mathrm{i}\frac{S}{\hbar}\right)\\ \nabla^{2}\psi&=\nabla\cdot\nabla\psi\nonumber\\ &=\left(\nabla^{2}A+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\nabla A\cdot\nabla S+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}A\nabla^{2}S\right)\exp\left(\mathrm{i}\frac{S}{\hbar}\right)+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(\nabla A+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}A\nabla S\right)\cdot\nabla S\exp\left(\mathrm{i}\frac{S}{\hbar}\right)\nonumber\\ &=\left[\nabla^{2}A+2\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\nabla A\cdot\nabla S+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}A\nabla^{2}S-\frac{A}{\hbar^{2}}\left(\nabla S\right)^{2}\right]\exp\left(\mathrm{i}\frac{S}{\hbar}\right) \label{eq:nabla2psi} \end{align}
一方，時間微分について \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{\partial A}{\partial t}\exp\left(\mathrm{i}\frac{S}{\hbar}\right)+\mathrm{i}\frac{A}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial t}\exp\left(\mathrm{i}\frac{S}{\hbar}\right) \end{align}
これらを時間に依存した Schrödinger 方程式： \begin{align} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi+V\psi \end{align} に代入し，各項に共通して掛かっている指数関数で割ることにより， \begin{align} \mathrm{i}\hbar\frac{\partial A}{\partial t}-A\frac{\partial S}{\partial t}=-\mathrm{i}\frac{\hbar}{2m}\left(2\nabla A\cdot\nabla S+A\nabla^{2}S\right)\nonumber\\-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}A+\frac{A}{2m}\left(\nabla S\right)^{2}+VA \end{align} が得られる・
虚数項同士が等しいことから得られる等式の両辺に $A/\mathrm{i}\hbar$ を掛けると， \begin{align} 2A\frac{\partial A}{\partial t}=-\frac{1}{m}\left(2A\nabla A\cdot\nabla S-A^{2}\nabla^{2}S\right) \end{align} これはさらに \begin{align} \frac{\partial\left(A^{2}\right)}{\partial t}&=-\nabla\cdot\left(A^{2}\frac{\nabla S}{m}\right)\nonumber\\ &=-\nabla\cdot\left(A^{2}\boldsymbol{v}\right) \end{align} と変形される．この式は $A^2$ の流れの保存の式であり，$A^2$ を粒子の密度と考えると粒子が形を変えながら運動しても粒子自体が保存されることを示すことになり，辻褄があっている．これは $\left|\psi\right|^2=A^2$ を粒子の密度と考えることの根拠となる．
一方，実数項が等しいことから得られる等式の両辺を $A$ で割ると， \begin{align} \frac{\partial S}{\partial t}=\frac{\hbar^{2}}{2mA}\nabla^{2}A-\frac{1}{2m}\left(\nabla S\right)^{2}-V \label{eq:HJE+QP} \end{align} が得られる．Bohm はここで $h\rightarrow 0$ とすることで Hamilton–Jacobi 方程式となることを示したのであるが，別の観点から考えてみよう．
もしも， \begin{align} \frac{\hbar^{2}}{2mA}\nabla^{2}A\ll\frac{1}{2m}\left(\nabla S\right)^{2} \label{eq:QPcondition} \end{align} であれば，式 \eqref{eq:HJE+QP} は Hamilton–Jacobi 方程式となる．
式 \eqref{eq:QPcondition} の意味するところを考えてみよう． \begin{align} \boldsymbol{p}=\nabla{S} \end{align} であるから，この式は \begin{align} \frac{\hbar^{2}}{\left|\boldsymbol{p}\right|^{2}}\frac{\nabla^{2}A}{A}\ll1 \end{align} となり，波数 $k$ を用いると， \begin{align} \frac{\nabla^{2}A}{A}\ll k^{2} \end{align} となる．式 \eqref{eq:eikonal2} を考慮すると，これは式 \eqref{eq:nabla2A/A} と同じものになる．このことは，粒子の運動エネルギーが十分にあって de Broglie 波長が $A$ の変化よりも十分に短い場合は近似的に古典力学で扱える（Hamilton–Jacobi 方程式で扱える）ことを意味する．これは量子力学における eikonal 近似と考えることができる．
このように，古典力学への極限移行によって Schrödinger 方程式からHamilton–Jacobi 方程式が導かれるのであるが，その逆をたどって Hamilton–Jacobi 方程式から Schrödinger 方程式を導出することはできない．当然のことながら，近似式から近似する前の式を知ることは一般に不可能だからである．
式 \eqref{eq:psi} は Hamilton–Jacobi 方程式の成立する条件下での Schrödinger 方程式の解ということになる．Landau は式 \eqref{eq:psi} について，“物理的体系の《ほとんど古典的な》（またはいわゆる準古典的な）波動関数” と表現した（注 10）が，この関数の特質を的確に表現したものである．
Schrödinger 方程式の厳密解ではない式 \eqref{eq:psi} を無理やり形式的に Schrödinger 方程式の厳密解にするためには，式 \eqref{eq:HJE+QP} にしたがって $V$ を古典的なポテンシャルから \begin{align} Q=-\frac{\hbar^{2}}{2mA}\nabla^{2}A \end{align} を引いたものとしなければならない．Bohm はこの $Q$ に quantum potential という名称を与えた．ここでよくある誤解は，この $Q$ は Schrödinger 方程式の厳密解において消失しないポテンシャルであり，粒子自身によって作り出され，粒子の量子力学的なふるまいの源となっているという解釈である（注 11）．事実は，Schrödinger 方程式は古典的なポテンシャルそのもので記述されることによって正確な波動関数を与え，$Q$ は量子力学的な記述に必要ない．また $Q$ を差し引く必要があるのは厳密解の場合ではなく，式 \eqref{eq:psi} を厳密解にしようとした場合である．したがって，Bohm のように $Q$ に何らかの物理学的意義を見出そうとする試みは，出発点において誤っていると考えられる．
波動力学の原理
以上のように見てくると，Schrödinger 方程式は古典力学から演繹できるものではないことがわかってくる．$V$ が一定となるような系では式 \eqref{eq:psi} の仮定のもとに Hamilton–Jacobi 方程式から Schrödinger 方程式を導くことが可能である．その場合は式 \eqref{eq:psi} を波動力学の原理と考えることができる．しかし，$V$ が一定でない一般の系にこれを外挿することはできない．そうすると，現時点においては， Feynman が “Schrödinger 方程式は Schrödinger の心から出てきた” と評したように（注 12），Schrödinger 方程式それ自体が原理であると考えるのが適当であろう．
そのような意味では Schrödinger の波動力学は Heisenberg の行列力学同様，発見的問題解決によって得られたものということになる．しかし，多くの仮定を必要とした行列力学に対して，波動力学は Schrödinger 方程式のみが原理あるいは仮定と言えるものである．しかも行列力学の仮定のように決して飛躍的というものではない．このことは行列力学との大きな相違点である．
注
- Schrödinger, E. (1926) Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung). Ann. Phys. 384, 361–376
- Schrödinger, E. (1926) Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung). Ann. Phys. 384, 489–527
- シュレディンガー選集 1 波動力学論文集（湯川秀樹監修，田中正，南政次訳）共立出版，1974年．
- 式 \eqref{eq:dS} よりわかるように， \begin{align} p=\frac{\partial{S}}{\partial{q}} \end{align} であり，これを Hamiltonian に代入すると式 \eqref{eq:Original wave function} が得られる．
- $K=-\hbar$ でもよいことになるが，本質的には違いがないので正号を取ったと思われる．式 \eqref{eq:K=hbar/i} も同様である．
- 式 \eqref{eq:Wave equation 1} で $K=\hbar$ として式 \eqref{eq:psi=eS/hbar} を代入すると， \begin{align} \frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+E-V=0 \end{align} という式になってしまう．
- 三次元の場合，$\phi$ の “等高線” は面となる．これを eikonal と呼ぶ．
- 一様な媒質の場合にはこれらの eikonal 近似のための条件が厳密に成り立ち，式 \eqref{eq:u} は厳密解となる．
- Bohm, D. (1952) A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables" I. Phys. Rev. 85, 166–179
- エリ・ランダウ，イェ・リフシッツ ランダウ=リフシッツ理論物理学教程 量子力学 1 =非相対的理論=（佐々木健，好村滋洋訳），p. 23，東京図書，1967 年
- 例えば http://beige.ucs.indiana.edu/B673/node48.html．
- Feynman, R.P., Leighton, R.B., Sands, M.L. (1965) The Feynman Lectures on Physics. Vol. III, Chapt. 16, pp. 12, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, USA.：Feynman は Schrödinger 方程式は既存の何からも誘導できないと言ったのであるが，この小論の冒頭の議論を含めて，Schrödinger 方程式を状況証拠的に導いたさまざまな取り組みの存在を否定したわけではない．